2012春碑林区校级期末数学选择题解析：不等式与全面调查的应用

2011 至 2012 学年，陕西省西安市西工大附中八年级（下）期末有数学试卷，该试卷有参考答案与试题解析。

一、选择题．

- 第三个不等式不能成立。

A．a﹣3＞b﹣3B．﹣2a＞﹣2bC．＞D．﹣a＜﹣b

因为 a 大于 b，所以 a 减去 3 大于 b 减去 3，此结论正确，不符合题意。

B、∵a＞b，∴﹣2a＜﹣2b，不正确，符合题意；

C、∵a＞b，∴＞，正确，不合题意；

D、∵a＞b，∴﹣a＞﹣b，正确，不合题意；

故选：B．

而对于一些范围较大、个体数量众多、调查成本过高或调查具有破坏性的情况，则通常不适合采用全面调查，而更适宜采用抽样调查等其他调查方式。

A．对全国中学生心理健康现状的调查

B．对冷饮市场上冰淇淋质量情况的调查

C．对西安市市民实施低碳生活情况的调查

D．对“神舟九号”飞船零部件状况的检查

【解答】解：对于全国中学生心理健康现状的调查，这种情况适宜采用抽样调查的方式。所以 A 选项中说适宜于抽样调查是正确的，而说 A 错误是不正确的。

B 认为对冷饮市场上冰淇淋质量情况的调查适合采用抽样调查，所以 B 是错误的。

对西安市市民实施低碳生活情况进行调查，这种情况适宜采用抽样调查的方式，所以 C 是错误的。

对“神舟九号”飞船零部件状况进行检查时，由于要求精确度高，所以适宜采用普查这种方式。

故选：D．

在中华经典美文的阅读过程中，小明同学留意到自己的一本书，其宽与长的比例是黄金比。已知这本书的长为 20 厘米，那么它的宽大约是多少呢？

A 的长度是 12.36cm；B 的长度是 13.6cm；C 的长度是 32.36cm；D 的长度是 7.64cm。

通过计算解得 x = 12.36cm 。

方法2：书的宽为20×0.618=12.36cm．

故选A．

甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人射击 10 次，成绩的平均数都是 9.2 环。其中甲的方差是 0.56，乙的方差是 0.60，丙的方差是 0.50，丁的方差是 0.45。方差越小，成绩越稳定，0.45 最小，所以成绩最稳定的是丁。

A．甲B．乙C．丙D．丁

解答如下：因为 S 甲的平方等于 0.56，S 乙的平方等于 0.60，S 丙的平方等于 0.50，S 丁的平方等于 0.45。

∴S丁2＜S丙2＜S甲2＜S乙2，

∴成绩最稳定的是丁；

故选：D．

以下说法中错误的是：（）；2012 年春季、碑林区校级期末有这样的说法；其中存在错误的内容；具体错误的情况如下；需要对这些说法进行判断和甄别；以确定其正确性；在相关的学期和区域背景下；有这样关于某些方面的说法；这些说法存在错误的可能性；需要仔细分析和考量；以找出其中的错误之处。

A．定理都是命题B．命题都是定理

C．公理都是真命题D．定理的逆命题可能是假命题

【解答】解：A、定理都是命题，故本选项正确；

B，命题不一定都正确，所以不一定都是定理，故本选项错误；

C、公理都是真命题，故本选项正确；

D、并不是所有的定理都有逆定理，故正确．

故选B．

若一个多项式是关于 x 的多项式 x² - 2(m - 3)x + 16 且它是完全平方式，那么 m 的值为多少呢？

A．±7B．±1C．1或﹣7D．﹣1或7

情况二：x²﹣2(m﹣3)x + 16 = (x - 4)²，展开可得 x²﹣2(m﹣3)x + 16 = x² - 8x + 16，即﹣2(m﹣3) = -8。

∴x2﹣2（m﹣3）x+16=（x±4）2，

∴m﹣3=±4，

则m的值为：﹣1或7．

故选：D．

如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为 BC 的中点，F 是 BE 的中点，AE 与 DF 相交于点 H。那么三角形 EFH 的面积与三角形 ADH 的面积的比值是多少呢？

A．B．C．D．

【解答】解：由已知得，EF=BC=AD．

∵AD∥BC，

∴EFH∽ADH，

∴相似比是1：4，

∴SEFH：SADH=1：16．

故选D．

若一个分式的值为零，那么 x 的取值应该是怎样的呢？

A．2或﹣1B．﹣1C．2D．±1

由分式的值为零的条件可知，（x﹣2）（x+1）等于 0，同时|x|﹣1不等于 0。

得x﹣2=0，x+1=0，∴x=2或x=﹣1，

因为|x|﹣1不等于 0，所以|x|不等于 1，也就意味着 x 不等于±1，综合起来看，得出 x = 2。

故选C．

如图，三角形纸片 ABC 沿着 DE 进行翻折。已知∠1 与∠2 的和是 80°，那么∠A 的度数是多少呢？

A．35°B．40°C．60°D．80°

【解答】解：

如图，设A点原来的位置为A′，

由题意可知∠ADE=∠A′DE，∠AED=∠A′ED，

∴∠1+2∠ADE=180°，∠2+2∠AED=180°，

∴∠1+∠2+2（∠ADE+∠AED）=360°，

又∠1+∠2=80°，

∴∠ADE+∠AED=140°，

所以，∠A 等于 180°减去（∠ADE 与∠AED 的和），也就是 180°减去 140°，结果为 40°。

故选B．

关于 x 的不等式组存在四个整数解，那么 a 的取值范围是怎样的呢？

A．﹣＜a≤﹣B．﹣≤a＜﹣C．﹣≤a≤﹣D．﹣＜a＜﹣

【解答】解：由（1）得x＞8；

由（2）得x＜2﹣4a；

其解集为8＜x＜2﹣4a，

因不等式组有四个整数解，为9，10，11，12，则，

解得﹣≤a＜﹣．

故选B．

二、填空题．

在比例尺为 1：1000000 的工程示意图里，某铁路的长度大概是 3.4 厘米，那么它的实际长度大约是 34 千米。

【解答】解：设它的实际长度约为xcm，

根据题意得：=，

解得：x=3400000，

∵3400000cm=34km，

∴它的实际长度约为34km．

故答案为：34．

分解因式时，先提取公因式 a，可得 a(b² - 2b + 1)，而 b² - 2b + 1 可以写成(b - 1)²，所以最终结果为 a(b - 1)²。

【解答】解：ab2﹣2ab+a，

=a（b2﹣2b+1），

=a（b﹣1）2．

若 a、b 为已知数，已知不等式 ax + b ＜ 0 的解集是 x ＞ - ，这意味着当对不等式进行求解时，两边同时除以 a 后，不等号方向发生了改变。因为只有当 a ＜ 0 时，在不等式两边同时除以 a 才会使不等号方向改变，所以 a 的取值范围是 a ＜ 0。

【解答】解：ax+b＜0，

ax＜﹣b，

∵不等式ax+b＜0的解集是x＞﹣，

∴a＜0，

故答案为a＜0．

如图，AB 与 CD 平行。已知角 FAB 为 140 度，角 E 为 20 度，那么角 C 是 60 度。

【解答】解：∵∠FAB=140°，

∴∠EAB=180°﹣∠FAB=40°，

∵∠E=20°，

∴∠1=∠EAB+∠E=60°，

∵AB∥CD，

∴∠C=∠1=60°．

已知函数 y = x + b 和 y = ax + 3 的图象交点为 P，从图象可知，当 x 大于 1 时，y = x + b 的图象在 y = ax + 3 的图象上方，即 x + b 大于 ax + 3，所以不等式 x + b ＞ ax + 3 的解集为 x ＞ 1。

从图中可知：若直线 y = x + b 的图象处于直线 y = ax + 3 的上方位置，那么不等式 x + b ＞ ax + 3 就成立。

由于两直线的交点横坐标为：x=1，

观察图象可知，当x＞1时，x+b＞ax+3；

故答案为：x＞1．

三、解答题．

16．（2012春•碑林区校级期末）解不等式：﹣1．

解：进行去分母的操作，得到 3 乘以（3x 减去 2）要大于等于 5 乘以（2x 加上 1）再减去 15 。

去括号得，9x﹣6≥10x+5﹣15，

移项得，9x﹣10x≥5﹣15+6，

合并同类项得，﹣x≥﹣4，

把x的系数化为1得，x＜4．

17．（2010•潮南区模拟）化简求值：，其中x=﹣3

【解答】解：原式={﹣]×

=×

=2x﹣8，

当x=﹣3时，原式=﹣14．

如下页图所示，在直角坐标系中，ABC 的 A 点坐标为 7，1；B 点坐标为 8，2；C 点坐标为 9，0。

请在图中进行操作，画出 ABC 的一个位似图形 A′B′C′。这个位似图形以点 P（12，0）作为位似中心，相似比为 3，并且要求 A′B′C′与 ABC 同在 P 点的同一侧。

（2）写出A′B′C′各点的坐标．

【解答】解：（1）画出A′B′C′，如图所示．

A′点的坐标是（﹣3，﹣3）。B′点的坐标是（0，6）。C′点的坐标是（3，0）。

如图，某数学兴趣小组的同学借助标杆来测量旗杆（AB）的高度。他们竖起了一根 5 米高的标杆（EF）。有一名同学处于一个位置，使得他与标杆、旗杆在同一条直线上。此时他看到标杆顶端与旗杆顶端重合。另外一名同学测量出站立的同学离标杆 3 米，离旗杆 30 米。已知站立的同学的眼睛距地面（CD）1.6 米，求旗杆的高度。

【解答】解：过点E作EH⊥AB于点H，交CD于点G．

根据题意可知，四边形 EFDG 是矩形，四边形 GDHB 也是矩形，并且 AB 与 CD 平行，CD 又与 EF 平行。

∴AECG∽EAH．

∴．

由题意可得

EG 等于 3，FD 也等于 3；GH 为 30，BD 同样是 30；CG 等于 CD 减去 GD，也就是 CD 减去 EF，即 5 减去 1.6 等于 3.4。

∴．

∴AH=34米．

∴AH=AH+HB=34+1.6=35.6米．

答：旗杆高ED为35.6米．

某电脑公司对甲种型号电脑进行经销。因为受到经济危机的影响，电脑价格持续下降。在今年三月份，电脑的售价比去年同期每台降低了 1000 元。如果卖出的电脑数量相同，那么去年的销售额是 10 万元，而今年的销售额仅为 8 万元。

（1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元？

为增加收入，电脑公司决定经销乙种型号电脑。已知甲种电脑每台进价 3500 元，乙种电脑每台进价 3000 元。公司预计用资金不多于 5 万元且不少于 4.8 万元来购进这两种电脑共 15 台，那么有几种进货方案呢？

如果乙种电脑每台售价为 3800 元，那么（2）中的哪种进货方案能让这 15 台电脑全部售出后获利最多呢？请写出具体的进货方案，并算出最多能获利多少。

【解答】解：（1）设今年三月份M品牌电脑的每台售价是x元．

依题意可得：100000 x+1000=80000 x，

解得x=4000，

经检验x=4000是原方程的解．

答：今年三月份M品牌电脑的每台售价是4000元．

（2）设购进甲种电脑x台，

48000≤3500x+3000（x﹣15）≤50000，

解得6≤x≤10，

因为的正整数解为6，7，8，9，10，

所以共有5种进货方案；

（3）设总获利为y元，

y 等于 4000 减去 3500 后乘以 x，再加上 3800 减去 3000 再减去 a 后乘以 15 减去 x 的结果，即等于 a 减去 300 后乘以 x 加上 12000 减去 15a 。

当a=300时，（2）中所有方案获利相同．

如图，在梯形 ABCD 中，AB 与 CD 平行。点 F 处于 BC 上，连接 DF 后，DF 与 AB 的延长线相交于点 G。

（1）求证：CDF∽BGF；

当点 F 处于 BC 的中点位置时，从 F 点作 EF 平行于 CD，EF 与 AD 相交于点 E。已知 AB 的长度为 6 厘米，EF 的长度为 4 厘米，求 CD 的长度。

【解答】（1）证明：∵梯形ABCD，AB∥CD，

∴∠CDF=∠G，∠DCF=∠GBF，（2分）

∴CDF∽BGF．（3分）

（2）解：由（1）CDF∽BGF，

又∵F是BC的中点，BF=FC，

∴CDF≌BGF，

∴DF=GF，CD=BG，（6分）

∵AB∥DC∥EF，F为BC中点，

∴E为AD中点，

∴EF是DAG的中位线，

∴2EF=AG=AB+BG．

∴BG=2EF﹣AB=2×4﹣6=2，

∴CD=BG=2cm．（8分）

如图 1 可知，若点 C 能将线段 AB 划分成两部分，并且这两部分的比例关系为 = ，那么就称点 C 为线段 AB 的黄金分割点。类似地，我们能够给出“黄金分割点”这样的定义：倘若直线 l 可以将一个面积为 S 的图形分割成两部分 S1 和 S2，并且这两部分的比例关系为 = ，那么就称直线 l 为该图形的黄金分割线。

如图 2 可知，在 ABC 中，倘若点 D 处于 AB 边上的黄金分割点位置（且靠近 B），那么此时直线 CD 是否为 ABC 的黄金分割线呢？其原因又是什么呢？

如图 3 所示，在三角形 ABC 中，D 是 AB 上的点且为 AB 的黄金分割点（靠近 B 点）。任意作一条过点 C 的直线交 AB 于点 E，接着过点 D 作直线 DF 平行于 CE，该直线 DF 交 AC 于点 F。此时，直线 EF 也为三角形 ABC 的黄金分割线，下面说明其理由。

如图 4 所示，在四边形 ABCD 中，点 E 是 AC 的一个黄金分割点且靠近 A。请画出四边形 ABCD 的一条黄金分割线，其画法步骤如下：先连接 BE 和 DE，然后过点 E 作 EF 平行于 AB 交 BC 于点 F，线段 DF 即为四边形 ABCD 的一条黄金分割线。理由是：根据黄金分割点的性质以及平行线分线段成比例定理，可以得出线段 DF 与四边形 ABCD 的边之间存在特定的比例关系，从而证明 DF 是四边形 ABCD 的一条黄金分割线。

因为 SACD 与 SABC 的比值等于 AD 与 AB 的比值，SBCD 与 SACD 的比值等于 BD 与 AD 的比值。

又∵D是AB的黄金分割点，

∴AD：AB=BD：AD，

SACD：SABC=SBCD：SACD，

∴CD是ABC的黄金分割线；

（2）∵DE∥CE，

∴SDCF=SEDF，

∴SACD=SAEF，

∴SBCD=S四边形BCFE，

∵SACD：SABC=SBCD：SACD，

∴SAEF：SABC=S四边形BCFE：SAEF，

∴直线EF为ABC的黄金分割线；

连结 BE、DE、BD 之后，过点 E 作出 MN 平行于 BD，MN 分别交 AD、AB 于 M、N 两点，接着连结 BM，那么 BM 就是四边形 ABCD 的一条黄金分割线。理由如下：

∵点E为AC的一个黄金分割点（靠近A），

SAED 与 SDEC 的比值等于 SDCE 与 SACD 的比值，SABE 与 SEBC 的比值等于 SBCE 与 SABC 的比值。

∵MN∥BD，

∴SMEB=SMED，

∴S四边形BCDM=S四边形BCDE=SDCE+SBCE，

SABM=SADE+SABE，

SABM 与 S 四边形 BCDM 的比值等于 S 四边形 BCDM 与 S 四边形 ABCD 的比值。

∴BM为四边形ABCD的一条黄金分割线．