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扩展欧几里得算法

扩展欧几里得算法是欧几里得算法的扩展，用于求解形如 $ax + by = gcd(a， b)$ 的贝祖等式（Bézouts identity）的整数解 $x$ 和 $y$。以下是算法的详细步骤和示例解析：算法步骤执行欧几里得算法：计算 $gcd(a， b)$，并记录每一步的余数和商。

扩展欧几里得算法（Extended Euclidean Algorithm，简称exgcd）是用于求解形如ax + by = gcd(a， b)的线性方程组的整数解的算法。其中，a和b是给定的整数，gcd(a， b)表示a和b的最大公约数（Greatest Common Divisor，GCD）。

扩展欧几里得算法的应用算法功能：求解形如 $ax + by = gcd(a， b)$ 的整数解，并可扩展至求模逆元。求逆元步骤：调用 exgcd(x， mod) 计算 $x$ 和 $text{mod}$ 的最大公约数及系数。

欧几里得算法是为了求两个数的最大公约数 Greatest Common Divisor 后文都以 gcd 简称，而拓展欧几里得算法则可以帮助我们求出倒数的模 如果对这个写法不太熟悉，我们换一种表示就是——已知两个正整数a和n，我们想求一个数e使得a与e的乘积除以n的余数为1。

扩展欧几里德算法 基本算法：对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。证明：设 ab。1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。

对于15和32，使用扩展欧几里得算法：设32 = 15 * 2 + 2，15 = 2 * 7 + 1。然后从下往上逐步回代：1 = 15 - 2 * 7，把2 = 32 - 15 * 2代入上式，得到1 = 15 - (32 - 15 * 2) * 7 = 15 - 32 * 7 + 15 * 14 = 15 * 15 - 32 * 7。

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