深入解析滞后超前型滤波器的设计与应用：从电路方程到幅频特性

最近在读Tosaka Toshiaki的《锁相环电路设计与应用》，其中提到了这种具有相位补偿能力的低通滤波器。书中非常详细地描述了这个滤波器的特性，但省略了所有公式的推导。作者懒得写了，我就补完。

滞后超前滤波器的基本电路如下：

图1 滞后超前滤波器的基本电路

通过写出电路方程，可以得到滤波器的传递函数如下：

从传递函数的角度来看，分子相当于一个一阶高通滤波器，截止频率记为fL。分母可以被视为二阶低通滤波器，或串联的两个一阶低通滤波器。两个一阶低通滤波器的截止频率分别表示为fc和fH。通过找到这三个特征频率，我们可以更准确地画出整个滤波器的幅频特性。

对于我们的滤波器，R1>R2，C1>C2。因此，在低频段，C2的作用可以忽略不计。此时电路可简化为：

图2 低频简化电路

传递函数简化为：

可见，分子和分母都是s的线性多项式。分子、分母和整个传递函数的频率响应特性如下图3所示。

图3 幅度特性 相位特性

分母和分子决定滤波器的第一截止频率和转折频率：

高频段的衰减M由fL/fC决定：

从上面的讨论可以看出，转动频率fL是由分子多项式决定的。我们的滞后超前低通滤波器也是如此，因此：

根据前面的低频等效电路可以找到第一截止频率fc。也可以直接利用C1>C2的关系，在传递函数中省略C2。找到第二截止频率fH 比较困难。首先，C1在高频时可以认为是短路，电路简化如下。

传递函数简化为：

上式中fH的第二步近似采用R1>R2。至此，三个特征频率就已经计算出来了。整个滤波器的幅频特性如图4所示。

图4 滤波器幅频特性

相位返回的值与fH/fL的比值有关。确切的关系很难找到，但通过数值模拟可以找到数值对应关系。一般来说，当fH/fL=10时，相位恢复到60°。

最后，说几句题外话。

本文所有计算均使用开源数学软件Maxima完成。掌握一两个数学软件的使用将使电路设计工作变得更加容易。