如何巧构辅助圆破解初中数学难题：沈岳夫老师的教学经验分享

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作者简介：沉乐夫（1963—），浙江绍兴人，浙江省绍兴市柯桥区平水镇中学高级教师。主要从事初中数学教育、教学和解题研究。

在一些考验综合解题能力的试题中，比如求角度、求线段长度、证明线段相等等，看似与圆无关，但如果你能深思熟虑，善于联想，挖掘问题中隐含的信息，巧妙构造辅助圈，然后利用圈的相关知识，可以成功地建立条件与结论之间的联系，使问题得到解答。问题变得更加明显，把隐藏的变成显而易见，把复杂的事情变成简单的事情，把困难的事情变成容易的事情。从而“回合”地解决问题。初三第二轮专题复习时，笔者对分班B班（基础好）学生进行了微专题研究——如何巧妙构建辅助圈来解决问题。如有不妥之处请指正。

01

长度和圆相等

型号1

当问题出现三个相同公共端点的相等线段时，如图1所示，如果OA = OB = OC，那么我们可以根据圆的定义构造一个辅助圆。

典型示例1

如图2所示，在四边形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2。那么BD的长度是_________。

【答】由于AB=AC=AD=2，很容易由模型1构造一个辅助圆，如图3所示。延长BA与圆在F处相交并连接DF。易知∠FDB=90°

巩固1

如图4所示，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为_________。

图4

【答案】由AB=AC=AD，∴B、C、D在以A为圆心、AB为直径的圆上； ∴∠CAD=2∠CBD，∠BAC=2∠BDC； ∵∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°； ∴∠CAD=2∠BAC=88°

画龙点睛

在上述两题中，存在三个相等的线段，它们具有相同的公共端点。这自然就引出了圆的定义和辅助圆的构建。简短描述：利用“圆”的定义→找到一个固定点和一个固定长度→找到一个“圆”形状。

02

等角圆

型号2

当题中出现问题时，线段的同侧有两个相等的角，如图5所示。如果∠C=∠D，那么我们可以根据固定弦和固定弦构造一个辅助圆角度。特别是当∠C=∠D=90°时，出现频率最高。

典型示例2

如图6所示，正方形ABCD的边长为6。O点为对角线AC和BD的交点。 E点在CD上，且DE=2CE。过C点画CF⊥BE，垂脚为F。连接OF，则OF的长度为_________。

【答案】因为∠BOC=∠BFC=90°，

由模型2可知，B、O、F、C点在一个圆内，如图7所示。

所以∠BFO=∠BCO=45°=∠BDE，

且∠DBE为△BOF与△BED的公角，

巩固2

如图8所示，正方形ABCD的对角线相交于O点。M、N点分别是BC、CD边上的移动点（与B、C、D点不重合）。 AM和AN分别与BD相交于E点。 、F 和 ∠MAN 始终保持在 45° 不变。

【答】（1）省略； (2) 省略； (3) 22.5°

画龙点睛

在图6中，我们注意到张角∠BOC=∠BFC=90°。用“直径的圆周角是直角”构造辅助圆。你要善于将它们联系起来解决问题，做到看到直角就想到直径，看到直径就想到直角。 ，这样可以快速释放问题内涵，开拓解题思路。在图9中，我们注意到张角∠MAN=∠MBF=45°。由模型3可知，A、B、M、F四点共圆，因此问题(1)和(2)很容易求解。速记：角度相等→求定长和圆心→出现“圆”形。

03

互补思维圈

型号3

当问题中出现一个四边形，且对角和互补时，如图10所示，如果∠B+∠D = 180°，那么我们可以根据内切圆的性质构造一个辅助圆四边形。

典型示例3

如图11所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以斜边AB为边，向外画一个正方形ABDE，正方形的对角线交于点O并连接OC。已知AC=5，OC=6√2，则另一直角边BC的长度为_________。

【答】从题意易知∠AOB=∠ACB=90°。由模型3可知，A、O、B、C点共圆，且OA=OB。进一步，AC+BC=√2OC，所以5+BC=√2×6√2，解为BC=7。

巩固3

如图12所示，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，连接AC。若AC=6，则四边形ABCD的面积为_________。

【答案】18

巩固4

如图13所示，已知D点和E点分别是等边△ABC的边BC和AB上的点，且∠ADE=60°。 M点在AC上且满足∠ADM=60°。验证：BE=CM。

【答】简单说一下

画龙点睛

上述三个问题中，均属于“对角互补”型的结构辅助圆。具体来说，在图11中，我们从辅助圆可以知道∠ACO=45°，然后利用该结论或者用O构造一个垂直于∠ACB的正方形来解决问题；图12中，由辅助圆可知∠ACD=45°，然后用△A沿AC折叠DC得到△AFC，再做AE⊥BC，然后将四边形ABCD的面积换算成乘以Rt△AEC面积的两倍即可得到解；图13中，由辅助圆可知AE=AM即可求得解。速记：对角线互补→考虑直径并找到圆心→出现“圆”形状。

04

将角度加倍以形成圆

型号4

当问题出现时，一个角是另一个角的两倍，并且对边相等，如图14所示。如果∠AOB=2∠C，那么我们可以根据圆心角是两倍来构建辅助方法同一圆弧的圆周角。圆形的。

典型示例4

在平面直角坐标系中，已知点A(4,0)和B(-6,0)，点C是y轴上的移动点。当∠BCA=45°时，C点坐标为__________。

【答】先作以AB为斜边的等腰Rt△ABP（如图15），然后以P点为圆心，以PA的长度为半径，作⊙P，与y轴的正半轴在C点，则∠BCA=1/2∠BPA=45°，即要求C点。

在F点过P点画PF⊥y轴，则OF=PE=5，PF=1，在Rt△PFC中，PF=1，PC=5√2

所以OC=OF+CF =5+7=12，所以C点的坐标为(0,12)；

同理，C点在y轴负半轴上的坐标为(0,-12)。

综上所述，满足条件的C点坐标为(0, 12)或(0, -12)。

巩固5

上题中，当∠BCA=60°时，其他条件不变，求出C点坐标。

【答】简单说一下

画龙点睛

当出现45°、60°等特殊角度时，将其视为圆周角，然后构造一个两倍于该角的圆心角。要特别注意这个技巧。这种“循环”策略是通过对话题的深入分析、联想或转化来探索知识模块内涵的思维方法。这是一种体验的“爆炸”。缩写：见定角→求对边（定长）→转换圆心角→创建“圆”形状。

05

扩张

展开1

平面上有A、O、B、C四个点，其中∠AOB=120°，∠ACB=60°，AO=BO=2，那么满足含义的OC的整数长度值问题可以是

【答案】2,3,4

扩展2

如图16所示，已知抛物线y= 1/2x²+bx+c与x轴相交于A(4,0)、B(2,0)，与y轴相交于点C 。

(1)求出抛物线的解析公式；

(2)D点为第四象限抛物线上的点。设D点横坐标为m，四边形ABCD的面积为S。求S与m的函数关系，求S的最大值；

(3) 点P在抛物线对称轴上，且∠BPC=45°。请直接写出P点的坐标。

【答】（1）省略； (2) 省略； (3) 绘制辅助圆如图 17 所示，可得 P 点坐标为 (1, -1+√10), (1, -1-√10)

总结

通过对以上四类题型的分析，不难看出：在解答综合题时，如果你能认真审题、仔细读题，如果你具备四例题的特点之一，并且适当构建辅助圈，分散问题的条件将得到集中。 ，把隐含的条件变得显性，有化难为难、思路开阔的效果。因此，找到问题的完美解决方案，变“隐”为“显”，并不是无中生有，而是基于对已知条件和所要寻求的要点的充分观察和思考。只有这样，我们才能敢于“创新”。可谓是平中见新，出奇制胜。解决问题时让我们不禁惊叹：“圆”能这样解决，多妙啊！