微课堂公益课堂：奥数国家级教练与特级教师联手，解析定边对直角与定边对定角构造辅助圆技巧

微级

奥林匹克国家教练公共福利班

与四位特殊老师一起。

在上一篇文章中，我们根据圆的定义了解了构造辅助圆。本文介绍了其他两种方法：

1。固定边缘到右角；

2。固定边缘配对角。

01

丁比安与直角

[知识回顾]直径的圆角是直角。

[结构思想]固定边缘的角始终是直角，然后直角的直角的轨迹是直径为直径的圆形或弧形。

【图形解释】

如果AB是固定的线段，并且∂APB= 90°，则P点轨迹是一个圆形，AB为直径。

[解决问题的关键]挖掘直角并确定固定边缘。

示例分析

众所周知，正方形ABCD的侧面为2，E和F分别是BC和CD上的移动点，并且满足BE = CF，Connect Ae，BF，相交点为P点，然后是P点PC是__________。

[分析]由于E和F是移动点，因此P点也是一个移动点，因此PC的最小值存在问题。如何确定P点轨迹？

考虑be = cf，易于证明AEBF，也就是说，在练习期间，∂APB= 90°，因此P点轨迹是一个直径为AB的圆圈。

连接OC，与圆的交点是P点。您可以通过毕达哥拉斯定理找到OC，然后减去OP以找到PC长度。

动态点轨迹通常是“非差异或圆形”。对运动点形成原理的分析，并找到与运动点有关的固定边缘和固定角度。

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如图所示，E和F是正方形ABCD的边缘AD上的两个运动点，以满足AE = DF。连接点G处的CF交点BD，并在H点H处连接到Ag。如果平方边缘长度为2，则最小长度为_________。

[分析]根据条件：∂Dag=∂Dcg=∂Abe，易于证明Ag⊥be，即，∂Ahb= 90°，

所以

当d，h，o co -line时，DH获得最小值，而毕达哥拉斯定理首先寻求OD，然后减去OH。

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如图所示，在rt△ABC中，AB⊥BC，AB = 6，BC = 4，P是△ABC内部的动态点，并且符合∂Pab=∂PBC，那么线段CP的最小值CP是______。

[分析]∵PBC+∂PBA= 90°，∂pbc=∂Pab，∴PAB+∂PBA= 90°，∴∂APB= 90°，

AP点轨迹是AB作为直径的弧。

当O，P和C Co -line时，CP获得最小值，毕达哥拉斯定理可以首先寻求OC，然后减去OP。

决定

如图所示，AB是半圆形O的直径。单击半圆形O，AB = 5，AC =4。D是ARC BC上的一个移动点，连接到AD，con ce⊥ad在e上，连接到be。在点D运动的过程中，BE的最小值为________。

[分析] E是一个动态点。点E是从点C到AD获得的。 ∂Aec= 90°，AC是一个固定的线段。

当b，e，m co -line时，获得最小值。连接到BC，寻求BM理论定理，然后减去EM。

挖掘直角并确定固定边缘

如图所示，在RT△ABC中，∂ACB= 90°，BC = 4，AC = 10，点D是AC上的运动点，CD用作直径圆O，连接到BD圆O e，AE的最小值为_________。

[分析]考虑到E点是从BD和圆O的交点获得的，因此可以连接到CE，并且CE⊥BD可以连接。考虑到CD侧的变化，BC侧是固定边缘。

以BC中的中点为m，E点轨迹基于M，MB用作弧线的半径。

连接AM，圆M的交点是点E点。目前，AE值是最小的，毕达古纳定理可以首先寻求AM，然后减去EM。

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如图所示，正方形ABCD的边缘长度为4，运动点E和F分别以相同的速度从A和C点出发，并沿着AB和CD向末端移动B点和D点。停止，超出点B作为直线EF的垂直线BG，下垂的脚为g，并连接Ag，然后Ag的最小值为______。

[分析]首先，考虑整个问题中的不变性，仅AE = cf，bg⊥ef，但是∂Bge的蜂鸣器尚不确定。

重点是AE = CF，您可以让EF通过正方形中心的点O，连接到BD，并且与EF的交点是点O。

BGO是一个直角，Bo侧是一条直线，因此G点轨迹是带直径的圆圈。

请记住BO点M的点。当A，G和M Co -line时，Ag获得最小值。使用RT△aoM pibachtu定理首先寻求AM，然后减去GM。

辅助元+一般喝马

如图所示，正方形ABCD的侧长为4，而点E是AD边缘的点。连接到。值为________。

[分析]∂AFB= 90°，AB是一个固定线段，因此F点是AB中的圆圆作为圆，AB作为直径。

考虑到PC+PF是一个折叠段，作为有关AD对称点C'的点C，PC+PF是PC'+PF。当c'，p，f，o co -line时，将获得最小值。

辅助圆+切割

如图所示，在RT△ABC中，∂ACB= 90°，∂b= 30°，Ab = 4，D是BC上的移动点，EFef⊥Ab在e，ef⊥ab在点f处相交BC ，然后CF的最大值为_________。

[分析]∂AEC= 90°，AC是一个固定值，因此E点轨迹是AC作为直径的弧。

考虑efbab并在圆上的点E。

连接到，易于证明△ocf≌oef，ψcof= 30°，因此可以找到CF。

02

固定的边角

在“固定边缘到 - 右角”的问题中，根据“直径的periac角正确”，关键是找到固定的边缘和直角，以及根据圆角定理：相同圆或同一轮，相同的弧或弧线是弧。右圆角是全相。固定边缘是必不可少的，右角通常可以是固定角度。例如，AB是一个固定值，金字塔是固定角度，然后轨迹的点是一个圆。

当然，度p的程度也是一个特殊角度，例如30°，45°，60°和120°，下面使用相应的轨迹圆。

如果3p = 30°，则将AB用作边缘，而CO层（例如侧三角AOB），O是圆形的中心。

如果4p = 45°，请使用AB作为倾斜边缘，并且腰部 - 矩形三角形AOB的标志性结构，O是圆形的心脏。

如果6p = 60°，则将AB作为底部，并且同一侧角的构造角度为腰部三角形AOB，顶角为120°，O是圆形的中心。

如果12p = 120°，则将AB用作底部，并且异常的侧是腰部三角形AOB，顶部为120°。 o是回合的中心。

当固定角度为β时，固定边缘是弦，而2β是圆角角。

示例分析

如图所示，侧面的ABC的侧面为2，E和F分别是BC和CA上的两个运动点，并且BE = CF，连接AE，BF，相交点是P点，然后是P点CP的最低值为_________。

[分析]可以推动be = cf，△abe≌bcf，因此∂APF= 60°，但是∂APF的侧面AF被更改。

因此，考虑蛋糕= 120°，其对AB是一个固定值。

因此，如图所示，p的p点是圆弧，其点O作为心脏中心。 （构造OA = OB和∂AOB= 120°）

当o，p和c co -line时，您可以获得CP的最小值。使用RT△OBC Piberban定理获得OC，然后减去OP。

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如图所示，如果p是△abc中的点，并且满足线段Pb的Pb长度的最小值为__________，则△ABC是一个等效的三角形，AB = 2。

[分析]从bpab =∂ACP，您可以获得∂APC= 120°，然后获得上面的问题。

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在ABC，AB = 4中，∂C= 60°，∂A>∂b，那么BC的长度范围为________。

[分析]首先，拍照，如下所示

没有很多条件，但很明显。 AB是一个固定值，∂C= 60°，即固定的边缘角度。因此，点C的轨迹是弧度O作为中心中心的弧。 （做ao = bo和∂Aob= 120°）

意图需要∂A>，b，即Bc> ac，因此点C的轨迹如下所示。

BC直径时，BC获得最大值，

考虑到BC最长的ABC的最大角度，BC> AB = 4。没有最低值。

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如图所示，AB是圆形O。M和N的直径是ARC AB（不同于A，B）两个点。 C是弧MN上的运动点。当平面与CD E相交时，当点C从点m移动到点n时，两个点C和E的运动长度为________。

[分析]考虑到C和E的两个点的轨迹，点C的轨迹是弧MCN，其相应的圆角是∂Mon，半径为OM（或ON）。

考虑到CE和AE都是水平划分的点E轨迹，因此连接BE，可以均等∂ABC，可以获得：∂AeB= 135°。

考虑到EAEB是一个固定角度，其相对的AB是固定线段，并且固定角度基于固定边缘，因此E点轨迹是一个圆。考虑到∂ADB= 90°，点D是圆的中心，而DA是半径。

E点的点E的圆形心脏角是∂Mon的一半，因此C和E的两个点轨迹的圆形半径比为1：根号2，圆心的比例为2 ：1。根号2。

“微型阶级大厅”是由江苏省数学教师和国家数学奥林匹克国家教练共同创建的。

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